¿Es ilegal tener alguna de las Entidades Nacionales de la India (Aves, Animales, Bandera, etc.) como logotipo de una empresa?

¡Si!
Es ilegal usar Emblemas Nacionales como logotipo o nombre de una empresa para el registro o cualquier uso.

Empresas actúan. 2013
Sección 4 (2) El nombre indicado en el memorando no deberá—

(a) sea idéntico o se parezca demasiado al nombre de una compañía existente registrada bajo esta Ley o cualquier ley de compañía anterior; o

(b) sea tal que su uso por parte de la empresa:

(i) constituirá un delito bajo cualquier ley por el momento en vigor; o

(ii) no es deseable en opinión del Gobierno Central

Sección 4 (3) Sin perjuicio de las disposiciones de la subsección (2), una empresa no se registrará con un nombre que contenga:

(a) cualquier palabra o expresión que pueda dar la impresión de que la empresa está relacionada de alguna manera con el Gobierno Central, cualquier Gobierno del Estado o cualquier autoridad, corporación u organismo local constituido por la Central Gobierno o cualquier gobierno estatal bajo cualquier ley por el momento en vigor; o

(b) dicha palabra o expresión, según se prescriba, a menos que se haya obtenido la aprobación previa del Gobierno Central para el uso de dicha palabra o expresión.

También,

Ley de emblemas y nombres (prevención del uso indebido), 1950

Sección 3: Prohibición del uso indebido de ciertos emblemas y nombres:

A pesar de todo lo contenido en la ley por el momento, ninguna persona podrá, excepto en los casos y bajo las condiciones que pueda prescribir el Gobierno Central, usar, o continuar usando, para fines comerciales, comerciales, llamando o profesión, o en el título de cualquier patente, o en cualquier marca o diseño, cualquier nombre o emblema especificado en el Anexo o, cualquier imitación colorable de los mismos sin el permiso previo del Gobierno Central o de cualquier funcionario del Gobierno que pueda ser autorizado en este nombre por el Gobierno Central.

Sección 4: Prohibición de registro de ciertas empresas:

(1) Sin perjuicio de todo lo contenido en la ley por el momento, ninguna autoridad competente deberá:

(a) Registrar cualquier compañía, firma u otro cuerpo de personas que lleve algún nombre, o

(b) Registrar una marca o diseño que lleve algún emblema o nombre, o

(c) Otorgar una patente con respecto a una invención, que lleva un título que contiene cualquier emblema o nombre,

si el uso de dicho nombre o emblema infringe la Sección 3.

A la luz de las leyes establecidas anteriormente, es un delito punible utilizar emblemas nacionales como logotipo o nombre de una empresa.

PD: Estas son las únicas leyes que conozco relacionadas con el uso de emblemas como logotipo. Puede haber otras leyes también. Actualizaré tan pronto como encuentre alguno.