¿Qué queremos decir con “es” o “igualdad”? Esa es la pregunta que subyace a la confusión sobre la suma de todos los números naturales.
Sumas Finitas
No tenemos problemas con sumas finitas:
- ¿Qué es lo más equilibrado de la naturaleza?
- ¿Por qué los perros, o cualquier animal, deben ser entrenados? ¿No es contra la naturaleza?
- ¿Cómo se mantienen las leyes de la naturaleza en los extremos opuestos del universo, cuando la luz y la información no pueden viajar entre ellas?
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[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ na_i = a_0 + a_1 + a_2 + \ dotsb + a_ {n-1} + a_n [/ math]
está perfectamente bien definido para cualquier secuencia de [math] a_i \ in \ mathbb R [/ math]. Gracias a la conmutatividad y asociatividad de la suma, ni siquiera depende del orden de [math] a_i [/ math]: puede barajar la secuencia en cualquier permutación sin afectar el resultado.
Series infinitas
Cuando llegamos a secuencias infinitas, [matemáticas] (a_i) [/ matemáticas], sin embargo, ¿qué significa incluso la suma infinita? Que es
El significado más simple, seguro y predeterminado es un límite de sumas finitas. Esa es la definición de una suma infinita es
[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} a_i \ equiv \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ na_i [/ math]
Cuando esta serie converge absolutamente todo está bien y elegante. Usted puede:
- confiar en el resultado;
- baraja el orden de los términos;
- suma o resta dos de esas series; e incluso
- cambia el orden de dos sumaciones anidadas.
Pero si la serie es divergente o solo condicionalmente convergente, el valor:
- puede no existir;
- puede depender de la orden; o
- podría requerir ‘métodos sofisticados’ para definir
y no puede manipular los términos de la secuencia ni sumar / restar dos de esas secuencias.
Tal es el caso con la suma de los números naturales donde
[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1) [/ matemáticas]
Esto claramente diverge a [math] + \ infty [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math], por lo que el valor predeterminado estándar no existe. Y eso es lo más lejos que debería llegar la mayoría de la gente.
Métodos de lujo
Si no comprende completamente, incluso íntimamente, el significado exacto de todo lo que está por encima, ciertamente no debería pasar a los “métodos sofisticados”. Igualmente, debe tratar a cualquiera que manipule secuencias no absolutamente convergentes como si estuvieran dividiendo por cero: los resultados son igual de confiables.
Hay una serie infinita perfectamente respetable llamada Serie Dirichlet:
[matemáticas] \ quad \ displaystyle f (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a_n} {n ^ s} [/ math]
Si los [math] (a_n) [/ math] están delimitados, esta serie converge absolutamente para cualquier [math] s \ in \ mathbb C [/ math] cuya parte real sea estrictamente mayor que uno, [math] \ Re (s )> 1 [/ matemáticas]. Para [math] \ Re (s) \ leq1 [/ math] estamos en un terreno menos sólido …
Continuación Analítica
Como [math] f (s) [/ math] es una función analítica definida en el semiplano abierto con [math] \ Re (s)> 1 [/ math] tiene una continuación analítica esencialmente única para el resto del Complejo avión. La continuación cuando todos [math] a_n [/ math] son uno, [math] f_1 (s) [/ math], es la función Riemann Zeta:
[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text { d} x [/ matemáticas]
donde [math] \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x [/ math] es la función Gamma, una extensión analítica de la función factorial.
Para [matemáticas] \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f_1 (s) [/ matemáticas].
Para [matemáticas] s = -1 [/ matemáticas]:
- [matemáticas] \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} [/ matemáticas]
- [matemáticas] f_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb [/ matemáticas] no converge
Si ahora desea hacer algo llamado regularización de la función zeta, puede afirmar
[matemáticas] \ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n [/ math]
pero tenga en cuenta que está jugando con lo que significa “igualdad” y qué “suma” es.
Eso está bien, pero si has llegado hasta aquí, habrás notado cuánto necesitas saber para entender lo que estás haciendo. Mucho más de lo que normalmente obtienes en un video de Numberphile …
